Родился 21 октября 1891 г. в городе Шадринске в семье портного. С 1914 г. участвовал в Первой мировой войне. В марте 1917 г. из-за болезни вернулся в Шадринск. Активно участвовал в установлении Советской власти в городе Шадринске и Шадринском уезде. В 1918 г. был избран председателем Шадринского Совета рабочих и солдатских депутатов. Арыкин участвовал в Гражданской войне, воевал в составе 4-го Уральского стрелкового полка. После окончания Гражданской войны Александр Григорьевич работал на руководящих должностях в советских и хозяйственных органах. Участвовал в работе XVI съезда ВКП (б). С 1945 г. был заместителем председателя Шадринского горисполкома, заведующим отделом писем городской газеты «Шадринский рабочий». С 1952 по 1960 гг. - директор Шадринского краеведческого музея. Александр Григорьевич принимал участие в написании книги «40 лет Советской власти» и сборе  воспоминаний участников Гражданской войны. По его инициативе было отреставрировано 20 работ художника Ф.А. Бронникова в государственной художественной мастерской города Москвы. С 1960 г. Арыкин - персональный пенсионер республиканского значения. Награждён медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.». На фасаде здания на улице Пионерской, 43 в Шадринске, где жил Арыкин, установлена мемориальная доска с барельефом.