Родился в деревне Сосновка Камышевской волости Курганского уезда Тобольской губернии (ныне Куртамышский район Курганской области) в семье крестьянина-середняка. Получил образование в сельской школе. В 1910 (1911) г. вместе с отцом переехал в Кокчетав и устроился работать в типографию. Работал в типографиях в городах Петропавловска, Ново-Николаевска (сейчас Новосибирс), Кургана. Получил профессию наборщика. Летом 1916 г. М.Я. Беляшов был мобилизован на фронт рядовым солдатом. На фронте увлёкся идеями большевиков, стал членом солдатского комитета полка. В декабре 1917 г. прибыл с Западного фронта в Курган. Здесь включился в деятельность местных большевиков, занялся агитацией. В мае 1918 г. .М.Я. Беляшов был принят на работу в Макушинское отделение Союза Сибирских маслодельных артелей продавцом в оптовый склад. Здесь продолжил агитировать за установление советской власти, распространял среди проезжающих через железнодорожную станцию Макушино большевистскую литературу, листовки и прокламации. 6 марта 1919 г. Максим Яковлевич был мобилизован в армию А.В. Колчака, как бывший работник типографии устроился переписчиком на службу в штаб тылового округа Восточного фронта. Вошёл в подпольную группу большевиков, участвовал в изготовлении бланки отпускных удостоверений, которыми снабжали нелегально солдат и этим способствовала дезертирству солдат из армии А.В. Колчака. В июне 1919 г. М.Я. Беляшов, чтобы избежать ареста колчаковской контрразведкой, бежал в Макушино, где нелегально устроился на свое прежнее место работы и продолжил агитационную деятельность. В конце октября 1919 г. в Макушине была создана партийная ячейка, которую возглавил Беляшов. 8 ноября 1919 г. он вступил в ряды ВКП(б). В декабре 1919 года избран в состав Макушинского райкома ВКП(б). В феврале 1921 г. в связи с крестьянским восстанием был выбран начальником штаба и командиром добровольческого отряда коммунистов в Макушинском районе. В начале марта 1921 г. отряд оставил Макушино и ч боями прорвался к Кургану. В дальнейшем М.Я. Беляшов занимал ключевые партийные должности в Кургане, Куртамыше, Соликамске, Свердловске. С 1933 г. проживал в Челябинске. В 1936 г. был исключен из ВКП(б) за «активное участие в белой армии», но Комиссия партконтроля при ЦК ВКП(б) восстановила его в партии без замечаний. С 15 апреля 1940 г. по 15 июля 1941 г. работал ответственным редактором газеты «Электроцинк» на Челябинском оцинковочном заводе им. С.М. Кирова. С1941 г. по 1943 г. работал в отделе пропаганды Челябинского обкома партии ВКП(б). После образования Курганской области 23 сентября 1943 г. М.Я. Беляшов был назначен заведующим областным партийным архивом. Руководил архивом до 1954 года. Написал ряд статей об истории революционного движения в Южном Зауралье, оставил воспоминания.