Родился 30 ноября 1947 г. в селе Чернавское Притобольного района Курганской области. С раннего детства научился играть на гармони и баяне. В 1966 г. окончил Глядянскую среднюю школу, с 1966 по 1968 гг. учился в Курганском машиностроительном институте. С 1968 по 1970 гг. Михаил Григорьевич служил в Советской Армии, участвовал в армейской художественной самодеятельности. После демобилизации работал методистом, затем директором Глядянского районного дома культуры. С 1973 г. Екимов работал монтёром путей Могочинской дистанции пути Забайкальской железной дороги, электросварщиком Курганского машиностроительного завода. Увлечённо занимался в народном хоре Дворца культуры машиностроителей, участвовал в фольклорно-этнографических экспедициях. По нескольку раз побывал в поселениях Притоболья, разыскивая старожилов, часами разговаривал с ними, слушал, записывал. В результате им были собраны обрядовые, хороводные, девичьи, лирические, рекрутские, каторжные песни, сказки, частушки, припевки, календарные, свадебные, похоронные обряды. В 1978 г. Михаил Григорьевич переехал в Ленинград, работал электросварщиком в центральных мастерских Ленинградского речного порта. Обрабатывал материалы, собранные в деревнях и сёлах Зауралья, классифицировал их по жанрам, географическим вехам, историческим корням. Много работал в публичной библиотеке имени М.Е. Салтыкова-Щедрина. Его доклад об итогах фольклорно-этнографических экспедиций в Среднем Притоболье на секции фольклора Ленинградского государственного института театра, музыки и кино получил высокую оценку учёных. Институт закупил коллекцию, а фольклорист Екимов стал внештатным научным сотрудником института. С 1979 г. Михаил Григорьевич работал старшим редактором, заведующим фольклорным сектором Курганского областного научно-методического центра народного творчества и культурно-просветительной работы, заведующим отделом фольклора и этнографии областного научно-методического центра. По его инициативе и при активном участии проведены десятки фольклорно-этнографических экспедиций в городах и районах Курганской области, собран богатейший фольклорный материал. Екимов был страстным пропагандистом народного творчества. Он проводил конкурсы, фестивали и праздники фольклора, научно-практические конференции и другие массовые мероприятия. Итогом многолетней кропотливой работы Екимова стали фольклорно-этнографический фонд, составляющий 7655 единиц хранения, книга «Русская свадьба сибиряков Среднего Притоболья» и десятки методических материалов, репертуарных листков и других пособий, изданных в помощь собирателям фольклора. Михаил Григорьевич - Заслуженный работник культуры РСФСР.