Родился 22 декабря 1923 года в городе Кургане в рабочей семье. Окончил семь классов в школе № 14 города Кургана и поступил на работу в локомотивное депо станции Курган учеником токаря. Вместе со старшим братом Георгием занимался лёгкой атлетикой и лыжным спортом, побеждал в в городских соревнованиях. Евгений ушёл воевать добровольцем. После окончания артиллерийской школы в феврале 1942 года его назначили командиром орудия в 692-й артиллерийский полк 240-й стрелковой дивизии. Воевал на Брянском, Воронежском и 1-м Украинском фронтах. Сержант Кремлёв особенно отличился в боях за Днепр. 29 сентября 1943 года 38-я армия начала форсирование реки в районе города Лютеж. Расчёт старшего сержанта Кремлёва подавлял огневые точки противника, мешавшие советским войскам форсировать водную преграду. 6 октября батарея, в которой Кремлёв был командиром орудия, переправилась на западный берег и участвовала в боях вместе с пехотой, уничтожая танки и пулемётные точки противника. В жестоком бою 7 октября стрелковые батальоны при поддержке артиллеристов освободили город Лютеж. Расчёт Кремлёва прямой наводкой уничтожил три укреплённых пулемётных гнезда гитлеровцев и обеспечил успех атакам автоматчиков. Ещё двое суток группа пехотинцев и артиллеристов во главе с Кремлёвым сдерживала яростные контратаки гитлеровцев. За мужество и стойкость, проявленные в этих боях, Евгений Константинович Кремлёв удостоен звания Героя Советского Союза. Кремлёв погиб 25 июня 1944 года в бою на молдавской земле. Похоронен в братской могиле в местечке Липканы. В парке города Новоселица Евгению Кремлёву установлен памятник. Его именем названа одна из улиц этого города. В Кургане именем героя названа улица. В локомотивном депо Курган, где начиналась трудовая биография Кремлёва, установлены памятник и мемориальная доска. Ежегодно проходит легкоатлетический мемориал братьев Кремлёвых.