Родился 15 сентября 1945 г. в городе Бобруйске Белорусской ССР. В 1946 г. после демобилизации отца Бориса Алексеевича семья переехала в город Уржум Кировской области. Жизнь отца была связана с музыкой, и четверо его детей получили профессиональное музыкальное образование. В 1967 г. Ю.Б. Куньшин окончил Кировское училище искусств, в 1973 году - Ленинградский государственный институт культуры имени Н.К. Крупской. Работал преподавателем в детских музыкальных школах городов Уржума и Омутнинска. В 1970 г. по приглашению приехал в город Курган. Работал в Курганском культурно-просветительном училище преподавателем, заведующим дневным отделением, заместителем директора по учебной работе, с 1977 по 1979 гг. – директором училища. С 1985 года Юрий Борисович работает преподавателем музыки в Курганском педагогическом колледже. В 1999 г. Куньшин создал единственный в Курганской области музей музыкальных инструментов. Основой для него стало наследие отца, Бориса Алексеевича. На базе музея действует творческая лаборатория, где совместно со студентами ведётся исследовательская и поисковая работа. Куньшин ведёт общественную работу в областном Совете ветеранов, Избирательной комиссии Курганской области, Совете Ассамблеи народов Зауралья, областном отделении Российского фонда мира. Юрий Борисович - заслуженный учитель Российской Федерации, Почётный работник среднего профессионального образования Российской Федерации», награждён медалями РФ.