Родился в деревне Пироуски Каргапольского района (ныне Курганской области). В 1943 г. был призван в Советскую Армию, участвовал в Великой Отечественной войне. Награждён орденом Красной Звезды, медалями «За отвагу», «За боевые заслуги», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.». В 1947 г. Авдеев демобилизовался и поступил в Шадринский автомеханический техникум. После его окончания в 1950 году работал инженером-конструктором отдела главного конструктора Шадринского автоагрегатного завода, затем инструктором Шадринского горкома КПСС. В 1952-1953 гг. служил в Военно-Морском флоте. В 1953-1957 гг. Герасим Иванович работал на Шадринском автоагрегатном заводе начальником КЭЦ, ведущим конструктором, начальником СКБ, заместителем начальника завода. С 1957 г. – на Курганском машиностроительном заводе: начальник бюро, ведущий инженер. В 1964 г. окончил Курганский машиностроительный институт по специальности «Инженер-механик». Имеет 19 авторских свидетельств на изобретения. Под руководством Г.И. Авдеева в начале 1970-х гг. проведена опытно-конструкторская работа по созданию боевого отделения боевой машины пехоты (БМП) с двухместной башней для командира и наводчика, в которой устанавливались 30-мм автоматическая пушка с двухленточным питанием, спаренный с ней пулемёт и встроенная установка ПТУР второго поколения «Конкурс» с полуавтоматической системой наведения. БМП-2 была принята на вооружение. В 1981 г. на Курганмашзаводе освоено её серийное производство. За разработку и освоение в серийном производстве БМП-2 Герасиму Ивановичу присуждена Государственная премия СССР.