Родился в станице Звериноголовская в казачьей семье. Окончил станичную школу, затем 2-классное городское училище. В 1896 г. начал работать помощником учителя, затем — учителем в начальных учебных заведениях Оренбургского края. В 1903 г. в Омской мужской гимназии экстерном сдал экзамен на звание учителя начального училища, стал вольноопределяющимся в Сибирском кадетском корпусе и продолжил свою педагогическую деятельность. В 1908 г. сдал экзамен в Семипалатинской мужской гимназии на звание учителя уездного училища по истории и географии. В 1910 сдал экзамен в Петропавловском реальном училище на звание учителя уездного училища по русскому языку и назначен учителем-инспектором Звериноголовского четырёхклассного городского училища. С 1912 года Александр Иванович Кривощеков преподавал в Еткульском, а с 1916 в Троицком высшем начальном училищах . Работал учителем в Акмолинской области, затем в Оренбургской губернии, позднее инспектор училища в Миассе, директор гимназии в Троицке. Занимался историей оренбургского казачества. В 1914 г. был избран действительным членом Оренбургской учёной архивной комиссии. Являлся членом партии эсеров. В 1916 г. окончил учительский институт. С 1915 года находился под полицейским надзором. В 1917 г. избран председателем Троицкого Совета казачьих депутатов, редактор газеты «Казачья мысль». Весной 1917 г. избран в состав войскового круга Оренбургского казачьего войска, затем - его председателем. В ноябре 1917 года был избран во Всероссийское учредительное собрание. В 1918 году - член Комуча . В 1919 г. вошёл в Сибирскую областную думу. В 1918-1919 гг. возглавлял осведомительный отдел штаба Оренбургской армии. Вскоре отошёл от политики, принял сан, служил в церквях Лейпцигской и Звериноголовской станиц. Был арестован, после освобождения в 1922 г. в газете "Советская правда" опубликовал открытое письмо "К духовенству и мирянам Челябинской губернии", написанное с обновленческих позиций. В этом документе его подпись стоит первой . Из-за преследований властей отказался от сана, работал учителем в Казахстане и Киргизии.
Был отцом четверых детей. Среди них - известный поэт Борис Александрович, писавший под псевдонимом Ручьёв.

Труды А.И. Кривощёкова:
Кривощёков А.И. В плену у японцев: рассказ из рус.-япон. войны. - Троицк, 1913. - 31 с.
Кривощёков А.И. Исторические судьбы Оренбургского края: крат. очерк заселения и развития края. - Уфа, 1913. - 45 с.
Кривощёков А.И. Оренбуржцы на Дальнем Востоке: очерки. Вып. 1. - Троицк, 1913. - 67 с.
Кривощёков А.И. Разбитый разъезд: рассказ из рус.-япон. войны. - Троицк: Тип. Берх, 1913. - 27 с.
Кривощёков А. Буренкино счастье: рассказ из жизни казачьих коров. - Троицк, 1914. - 38 с.
Кривощёков А.И. Как разбогател казак Разумов: рассказы из быта Оренбург. казаков. - Троицк, 1914. - 44 с.
Кривощёков А.И. Казачьи депутаты в комиссии 1766 года: ист. очерк // Вестн. Оренбург. учеб. окр. - 1913. - № 3, науч. отд. - С. 83 -100; № 4, науч. отд. - С. 135 - 144.
Кривощёков А.И. Казачьи легенды // Вестн. Оренбург. учеб. окр. - 1913. - № 5.
Кривощёков А.И. Далматовский монастырь как оплот русского владычества и православия в Исетском крае и его достопримечательности // Вестн. Оренбург. учеб. окр. - 1914. - № 5, науч. отд. - С. 195 - 218.
Кривощёков А.И. На Оренбургской пограничной линии: (очерки прошлого) // Вестн. Оренбург. учеб. окр. - 1914. - № 1, пед. отд. - С. 1 - 24; № 2, пед. отд. - С. 52 - 74; № 3, пед. отд. - С. 99 - 123.
Кривощёков А.И. Обряды и обычаи оренбургских казаков // Вестн. Оренб. учеб. окр. - 1915. - № 1, науч. отдел. - С. 9 - 27. (О свадебных песнях и величаниях).
Кривощёков А.И. Обряды и обычаи оренбургских казаков // Вестн. Оренб. учеб. окр. - 1915. - № 3, науч. отд. - С. 89 -108. (О колыбельных песнях и детских играх).
Кривощёков А.И. Обряды и обычаи оренбургских казаков // Вестн. Оренб. учеб. окр. - 1915. - № 4, науч. отд. - С. 147 - 171. (Об играх и песнях молодёжи).