Родился в Казани 13 мая 1891 г. Окончил Казанское военное училище и начал военную службу в крепости Осовец. Во время Первой мировой войны был отравлен газами и ранен, в дальнейшем специализировался на защите от газовых атак. Награждён орденом Св. Георгия 4-й степени. В 1918 году оказался в Шадринске, руководил здесь антибольшевистским восстанием. Шадринский добровольческий отряд принял участие в боях за город Далматово, в освобождении от красных войск станций Катайск, Колчедан, Синарская и Каменский Завод (ныне город Каменск-Уральский). 27 июля 1918 г. Шадринский отряд капитана А.А. Куренкова перерезал железную дорогу Екатеринбург – Тюмень на разъезде № 5 (ныне станция Грязновская), захватив здесь 2 бронепоезда, 1 орудие, 7 пулеметов и 52 тысячи патронов. Далее Шадринский отряд участвовал в безрезультатных двухнедельных лобовых атаках позиций красных у станции Антрацит. Затем Шадринский добровольческий отряд в составе других войск наступал на Алапаевск, действовал на Николае-Павдинском направлении. Утверждается, что в занятом колчаковцами Екатеринбурге в сарае дома Ипатьева Куренков обнаружил шинель Николая II с георгиевской лентой и увёз ленту как реликвию. В 1919 г. отряд Куренкова вошёл в состав 7-й Сибирской стрелковой дивизии, участвовал в "Ледяном походе" армии Колчака. С 1921 г. А.А. Куренков жил в Манчжурии, с 1923 г. – в Сиэтле. в 1925-1927 гг. служил в Национальной гвардии США в штате Вашингтон. Работал в эмигрантских монархических организациях. В 1937 г. произведён в генерал-майоры великим князем Кириллом Владимировичем. В 1947 году, переехав в Сан-Франциско, издавал и редактировал монархическую газету "Вестник правды".
А.А. Куренков увлекался историей и языкознанием, владел древними языками. Искал первоисточники происхождения русского народа. Автор нескольких работ по философии, религии и естествознанию. В 1915 г. искал на горе Арарат Ноев ковчег, в 1946 г. опубликовал перевод загадочной надписи, открытой им на Араратском перевале. В 1947 г. получил степень доктора психологии в Колледже Божественной метафизики (штат Индиана). В 1951-1953 годах А.А. Кур в журнале «Жар-птица» (Сан-Франциско) первым опубликовал знаменитую "Велесову книгу". Занявшись изучением истории древних руссов, написал и издал книгу "Из истиной истории наших предков", основанную на выполненном им анализе Библии. Умер 2 мая 1971 г. в пригороде Сан-Франциско, завещав свой архив Гуверовскому институту. Похоронен на участке Георгиевских кавалеров Сербского кладбища Сан-Франциско.