Родился в Иркутске. В 1865 году окончил медицинский факультет Казанского университета. Работал в Вятской, Пермской, Саратовской, Тамбовской, Калужской губерниях. В 1872 году утвержден первым земским санитарным врачом. В 1873 году организовал в Шадринске первый в России врачебно-санитарный совет уездного земства. На основе практических наблюдений пришёл к выводу о необходимости предупредительной медицины. Свои взгляды обосновал в труде «Земская медицина». По инициативе Моллесона началось строительство участковых больниц в Каргаполье и Верх-Теченском, создана уездная санитарная организация в Шадринске. В 1876 году Иван Иванович работал в селе Ольховском заведующим врачебным участком, который стал образцовым в уезде. Моллесон - инициатор и руководитель ряда губернских съездов земских врачей, активный участник Пироговских съездов. Наряду с санитарным просвещением Иван Иванович занимался научной работой, вёл санитарно-гигиенические исследования. Он разработал формы медицинской регистрации и отчётности. Многие его труды посвящены вопросам санитарной статистики, демографии, санитарной характеристике промыслов, производственной школьной гигиене.
Умер 18 декабря 1920 года в Воронеже.