В автобиографических заметках Первушин указывает, что родился в Лысьве, где находился приход его деда Иоанна Первушина, иерея Свято-Троицкого собора. Обучившись дома грамоте, поступил в 1838 г. в пермское духовное училище; в 1842 г. был переведен в пермскую духовную семинарию, где и выказалась впервые его склонность к занятиям математикой. С переходом его в 1848 г. в Казанскую духовную академию пристрастие к математике усиливается несомненно под влиянием Д.М. Гусева, замечательного профессора того времени. В Казани Первушин приобрел более подробные и систематические сведения; на его экзамене, присутствовавший П.Л. Чебышев просил обратить внимание на молодого человека. Однако обстоятельства сложились иначе, и Первушин, возвратившись на родину, принял место сельского священника. Жил в селе Замараево Шадринского уезда Пермской губернии. Среди пастырского труда и семейных обязанностей он пополнил свои знания чтением и занялся самостоятельными изысканиями в области теории чисел. В 1877-1878 гг он представил в Академию Наук работы о делимости числа 2 в степени 2 в степени 12 + 1 на простое число 7 умножить на 2 в степени 14 + 1 = 114689 и числа 2 в степени 2 в степени 23 + 1 на делитель 5 умножить на 2 в степени 25 + 1 = 167772161, предварив французского математика Эдуарда Люкаса, занимавшегося теми же изысканиями. Академия Наук, в поощрение трудов П., исхлопотала у Святейшего Синода высылки ему математических книг на 190 рублей. Далее Первушин указал на самое большое простое число: 2 в степени 61 - 1 = 2307843009213693951, занимался составлением таблиц простых чисел, их разностей и сумм - обширный труд, признанный Академией Наук весьма полезным; в 1893 году Первушин отправил на математический конгресс в Чикаго свою заметку "о наилучшей поверке арифметических действий над огромными числами при посредстве делителей: 10 в 3-й степени - 2 = 998, 10 в 4-й степени - 2 = 9998", а затем представил работу об определении количества простых чисел в известных пределах, написанную на тему, предложенную неаполитанской академией физико-математического королевского общества.