Родился в городе Кургане Тобольской губернии. В 1914-1924 годах учился в Московской консерватории у С. Василенко, Г. Катуара, Н. Мясковского. С 1922 г. - преподаватель Музыкального техникума им. А. Скрябина, с 1925 г. - Московской консерватории. В 1924-1925 годах - заведующий музыкальной частью и дирижёр Государственного театра драмы в Ленинграде, в 1927-1937 гг. - Московского театра для детей (впоследствии - Центральный детский театр, в 1947-1948 гг. - Театра им. Моссовета.
С 1924 г. Л.А. Половинкин  являлся секретарём Ассоциации современной музыки. В 1920-е годы был одним из лидеров раннего советского «урбанистического» модернизма, к этому направлению относятся фортепианный цикл «Происшествия» (7 пьес, 1920-1925 гг.), фокстрот «Электрификат» (1925 г.) и др. Вместе с Д. Кабалевским и Л. Мазелем Л. Половинкин подготовил к печати 1-ю часть незаконченного труда Г. Катуара «Музыкальная форма» - «Метрика» (М., 1934).